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# **Kuhn-Munkres算法详解与Python代码示例**

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# **一、算法详解**

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# Kuhn-Munkres算法（简称KM算法）是一种用于解决二分图最大权匹配问题的经典算法。二分图是指图中的节点可以划分为两个互不相交的集合，且图中的每一条边都连接着两个属于不同集合的节点。在二分图最大权匹配问题中，我们需要找到一种匹配方式，使得所有匹配边的权值之和最大。

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# KM算法的核心思想是通过给每个顶点一个标号（称为顶标）来将求最大权完美匹配的问题转化为求完美匹配的问题。算法的主要步骤如下：

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# 1. **初始化**：为二分图的每个顶点设置一个初始的顶标值，通常是将所有边的权值中的最大值作为初始顶标值。

# 2. **寻找相等子图**：在当前的顶标下，寻找一个子图，使得该子图中所有边的权值都等于其两个端点的顶标之和。这个子图被称为相等子图。

# 3. **寻找增广路**：在相等子图中寻找增广路，即从未匹配点出发，依次经过未匹配边、匹配边、未匹配边...直到另一个未匹配点结束的路径。

# 4. **修改顶标**：如果找到了增广路，则根据增广路修改顶标，使得修改后的顶标下，相等子图中的边数增加。

# 5. **重复步骤**：重复步骤2-4，直到找到最大权匹配或确定不存在增广路为止。

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# **二、Python代码示例**

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# 下面是一个使用Python实现的Kuhn-Munkres算法的示例代码：

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import numpy as np



def kuhn_munkres(matrix):

    n = len(matrix)

    lx, ly = [-np.inf] * n, [0] * n

    match = [-1] * n



    # 初始化顶标

    for i in range(n):

        for j in range(n):

            lx[i] = max(lx[i], matrix[i][j])



    while True:

        # 寻找相等子图

        s, t = [], []

        for i in range(n):

            if match[i] == -1:

                s.append(i)

                for j in range(n):

                    if lx[i] + ly[j] == matrix[i][j]:

                        t.append(j)



        # 寻找增广路

        while s and not any(match[j] == -1 for j in t):

            i = s.pop()

            j = min(t, key=lambda j: lx[i] + ly[j] - matrix[i][j])

            t.remove(j)

            s.extend(k for k, v in enumerate(match) if v == j and k not in s)

            if match[j] != -1:

                t.extend(k for k, v in enumerate(match) if v == match[j] and k not in t)

                match[j] = -1



        # 如果没有找到增广路，则当前匹配即为最大权匹配

        if not s:

            break



        # 修改顶标

        d = np.inf

        for i in s:

            for j in range(n):

                if j not in t and lx[i] + ly[j] - matrix[i][j] < d:

                    d = lx[i] + ly[j] - matrix[i][j]



        for i in s:

            lx[i] -= d

        for j in t:

            ly[j] += d



    return [(i, match[i]) for i in range(n) if match[i] != -1]



# 示例矩阵

matrix = np.array([[1, 2, 3], [4, 0, 6], [5, 7, 9]])

print(kuhn_munkres(matrix))  # 输出最大权匹配结果
